RELASI EKUEVALENSI

RELASI EKUEVALENSI

Relasi Ekuvalensi : relasi yang refleksif, simetris dan transitif

Ø Dari contoh di atas, R₁ adalah relasi ekuvalensi, sedangkan R₂ bukan relasi ekuivalensi

Ø P(A) adalah himpunan kuasa dari A, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan himpunan bagian dari A. Relasi “Í” pada P(A) bukan relasi ekuvalensi. Coba kalian cari alasannya!!!

Ø Relasi Kongruensi ® khusus pada Z (himpunan bilangan bulat)

Relasi kongruensi (º) pada Z didefinisikan : "x,yÎZ,

x º y (modulo m) Û x – y = km untuk suatu bilangan bulat k dan bilangan asli m

contoh :

2 º 10 (modulo 4) karena 2 – 10 = (-2)4, tetapi

210 (modulo 5) karena 2 – 10 ¹ k.5 untuk "bilangan bulat k

17 2 (modulo 4) karena 17 – 2 ¹ n.4 untuk "bilangan bulat n,

17 º 2 (modulo 5) karena 17 – 2 = 3.5

Ø Relasi kongruensi pada Z merupakan relasi ekuivalensi. Coba buktikan !!!

Relasi Determinatif dan sifat-sifatnya

· Relasi R yang didefinisikan pada S disebut relasi determinative, jika dan hanya jika "x,yÎS berlaku xRy atau xy

· Relasi determinative pada S seringkali hanya ditulis relasi pada S artinya relasi dari S ke S.

· Sifat-sifat relasi determinative :

Ø Relasi R pada S dikatakan refleksif (relasi R disebut refleksif pada S) jhj "xÎS berlaku xRx atau (x,x)ÎR

Ø Relasi R pada S dikatakan simetris jhj "x,yÎS xRy Þ yRx

Ø Relasi R pada S disebut Antisimetris jhj "x,yÎS, xRy Ù yRx Þ x = y

Ø

Coba kalian negasikan setiap definisi dari sifat-sifat di atas

Relasi R pada S disebut Transitif jhj "x,y,zÎS, xRy Ù yRz Þ xRz

Contoh :

S= himpunan semua garis-garis lurus pada bidang datar

Misalkan R₁ = relasi kesejajaran “//” maka R₁ refleksif, simetris, tidak antisimetris dan transitif, dengan alasan secara berturut-turut :

o Setiap garis lurus pasti sejajar dengan dirinya sendiri

o Setiap dua buah garis g dan h jika g//h maka h//g

o jika g//h dan h//g maka belum tentu garis g = garis h. sebagai counter example : jika garis g dengan persamaan y = 2x – 1 dan garis h dengan persamaan y = 2x + 1 maka g ¹ h meskipun g//h dan h//g.

o setiap tiga garis lurus g, h dan k, jika g//h dan h//k maka g//k

Misalkan R₂ = relasi tegak lurus “^” maka R₂ tidak refleksif, simetris, tidak antisimetris, dan tidak transitif dengan alasan secara berturut-turut :

o tidak mungkin suatu garis tegak lurus dengan dirinya sendiri

o Setiap dua buah garis g dan h jika g^h maka h^g

o jika g^h dan h^g maka tidak mungkin g = h (silakan dibuat contoh dua persamaan garis yang saling tegak lurus)

o coba kalian buat tiga buah persamaan garis g, h, dan k dengan g^h dan h^k apa yang anda peroleh? Apakah g^k ?

Latihan Soal : ambil himpunan bilangan bulat Z dan coba selidiki ke empat sifat di atas, jika diberikan relasi :

i. < ii. > iii. £ iv. Membagi habis

· Catatan

1. Hati-hati relasi R adalah himpunan pasangan berurutan, sedangkan S bukan merupakan himpunan pasangan berurutan

2. Bedakan : "a,bÎS dengan "(a,b)ÎR karena a,b dan (a,b) tidak dapat ditukarkan

3. untuk menunjukkan suatu sifat yang tidak dipenuhi haruslah dicari contoh kontranya

PARTISI

Coba kalian perhatikan relasi kongruensi modulo 5 pada Z :

R = {(a,b) | a,b ÎZ, a º b (modulo 5) } Þ R adalah relasi ekuivalensi

Jika didefinisikan H_a = {xÎZ| x º a (modulo 5)}dengan aÎZ maka diperoleh :

H₁ = {xÎZ| x º 1 (modulo 5)} = {….., -9. -4, 1, 6, 11, …..}

H₂ = {xÎZ| x º 2 (modulo 5)} = {….., -8, -3, 2, 7, 12, …..}

H₃ = {xÎZ| x º 3 (modulo 5)} = {….., -7, -2, 3, 8, 13, …..}

H₄ = {xÎZ| x º 4 (modulo 5)} = {….., -6, -1, 4, 9, 14, …..}

H₅ = {xÎZ| x º 5 (modulo 5)} = {….., -5, 0, 5, 10, 15, …..}

H₆ = H₁= H_-4 = …..dst, H₇ = H₂= H_-8 = …..dst

H yang memenuhi i, ii disebut partisi dari Z

Jika H_a dihimpun { H₁, H₂, H₃, H₄, H₅} = H maka tampak jelas bahwa

i. H₁È H₂ È H₃ È H₄ È H₅ = Z dan

ii. ("H_i, H_j Î H) H_i ¹ H_j Þ H_i Ç H_j = f

Definisi Partisi

Ø

i. = A ii. ("Ai, Aj Î A) Ai ¹ Aj Þ Ai Ç Aj = f Selanjutnya Ai disebut kelas ekuvalensi

Ditentukan himpunan A dan A suatu keluarga himpunan bagian dari A yang tidak kosong, ditulis A = {A_i| A_iÌA, A_i ¹ f, iÎ I}. A disebut partisi dari A jika dan hanya jika : A₁

A₂ … ….

A₃

….

Ø Teorema : teorema fundamental tentang relasi ekuivalensi

Setiap partisi pasti dapat membentuk suatu relasi ekuivalensi dan sebaliknya, setiap relasi ekuivalensi pasti membentuk partisi yang terdiri dari kelas-kelas ekuivalensi.

Ø Tugas Kelompok :

I. membuat soal dan jawabannya (soal terbuka) minimal 3 yaitu membentuk partisi dari suatu relasi ekuivalensi dan menentukan relasi ekuivalensi dari partisi yang dibuat.

II. Membuat resume tentang fungsi

III. Pertemuan ke 10, salah satu kelompok presentasi hasil resumenya