RELASI EKUEVALENSI

RELASI EKUEVALENSI

Relasi Ekuvalensi : relasi yang refleksif, simetris dan transitif

Ø Dari contoh di atas, R₁ adalah relasi ekuvalensi, sedangkan R₂ bukan relasi ekuivalensi

Ø P(A) adalah himpunan kuasa dari A, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan himpunan bagian dari A. Relasi “Í” pada P(A) bukan relasi ekuvalensi. Coba kalian cari alasannya!!!

Ø Relasi Kongruensi ® khusus pada Z (himpunan bilangan bulat)

Relasi kongruensi (º) pada Z didefinisikan : "x,yÎZ,

x º y (modulo m) Û x – y = km untuk suatu bilangan bulat k dan bilangan asli m

contoh :

2 º 10 (modulo 4) karena 2 – 10 = (-2)4, tetapi

210 (modulo 5) karena 2 – 10 ¹ k.5 untuk "bilangan bulat k

17 2 (modulo 4) karena 17 – 2 ¹ n.4 untuk "bilangan bulat n,

17 º 2 (modulo 5) karena 17 – 2 = 3.5

Ø Relasi kongruensi pada Z merupakan relasi ekuivalensi. Coba buktikan !!!

Relasi Determinatif dan sifat-sifatnya

· Relasi R yang didefinisikan pada S disebut relasi determinative, jika dan hanya jika "x,yÎS berlaku xRy atau xy

· Relasi determinative pada S seringkali hanya ditulis relasi pada S artinya relasi dari S ke S.

· Sifat-sifat relasi determinative :

Ø Relasi R pada S dikatakan refleksif (relasi R disebut refleksif pada S) jhj "xÎS berlaku xRx atau (x,x)ÎR

Ø Relasi R pada S dikatakan simetris jhj "x,yÎS xRy Þ yRx

Ø Relasi R pada S disebut Antisimetris jhj "x,yÎS, xRy Ù yRx Þ x = y

Ø

Coba kalian negasikan setiap definisi dari sifat-sifat di atas

Relasi R pada S disebut Transitif jhj "x,y,zÎS, xRy Ù yRz Þ xRz

Contoh :

S= himpunan semua garis-garis lurus pada bidang datar

Misalkan R₁ = relasi kesejajaran “//” maka R₁ refleksif, simetris, tidak antisimetris dan transitif, dengan alasan secara berturut-turut :

o Setiap garis lurus pasti sejajar dengan dirinya sendiri

o Setiap dua buah garis g dan h jika g//h maka h//g

o jika g//h dan h//g maka belum tentu garis g = garis h. sebagai counter example : jika garis g dengan persamaan y = 2x – 1 dan garis h dengan persamaan y = 2x + 1 maka g ¹ h meskipun g//h dan h//g.

o setiap tiga garis lurus g, h dan k, jika g//h dan h//k maka g//k

Misalkan R₂ = relasi tegak lurus “^” maka R₂ tidak refleksif, simetris, tidak antisimetris, dan tidak transitif dengan alasan secara berturut-turut :

o tidak mungkin suatu garis tegak lurus dengan dirinya sendiri

o Setiap dua buah garis g dan h jika g^h maka h^g

o jika g^h dan h^g maka tidak mungkin g = h (silakan dibuat contoh dua persamaan garis yang saling tegak lurus)

o coba kalian buat tiga buah persamaan garis g, h, dan k dengan g^h dan h^k apa yang anda peroleh? Apakah g^k ?

Latihan Soal : ambil himpunan bilangan bulat Z dan coba selidiki ke empat sifat di atas, jika diberikan relasi :

i. < ii. > iii. £ iv. Membagi habis

· Catatan

1. Hati-hati relasi R adalah himpunan pasangan berurutan, sedangkan S bukan merupakan himpunan pasangan berurutan

2. Bedakan : "a,bÎS dengan "(a,b)ÎR karena a,b dan (a,b) tidak dapat ditukarkan

3. untuk menunjukkan suatu sifat yang tidak dipenuhi haruslah dicari contoh kontranya

PARTISI

Coba kalian perhatikan relasi kongruensi modulo 5 pada Z :

R = {(a,b) | a,b ÎZ, a º b (modulo 5) } Þ R adalah relasi ekuivalensi

Jika didefinisikan H_a = {xÎZ| x º a (modulo 5)}dengan aÎZ maka diperoleh :

H₁ = {xÎZ| x º 1 (modulo 5)} = {….., -9. -4, 1, 6, 11, …..}

H₂ = {xÎZ| x º 2 (modulo 5)} = {….., -8, -3, 2, 7, 12, …..}

H₃ = {xÎZ| x º 3 (modulo 5)} = {….., -7, -2, 3, 8, 13, …..}

H₄ = {xÎZ| x º 4 (modulo 5)} = {….., -6, -1, 4, 9, 14, …..}

H₅ = {xÎZ| x º 5 (modulo 5)} = {….., -5, 0, 5, 10, 15, …..}

H₆ = H₁= H_-4 = …..dst, H₇ = H₂= H_-8 = …..dst

H yang memenuhi i, ii disebut partisi dari Z

Jika H_a dihimpun { H₁, H₂, H₃, H₄, H₅} = H maka tampak jelas bahwa

i. H₁È H₂ È H₃ È H₄ È H₅ = Z dan

ii. ("H_i, H_j Î H) H_i ¹ H_j Þ H_i Ç H_j = f

Definisi Partisi

Ø

i. = A ii. ("Ai, Aj Î A) Ai ¹ Aj Þ Ai Ç Aj = f Selanjutnya Ai disebut kelas ekuvalensi

Ditentukan himpunan A dan A suatu keluarga himpunan bagian dari A yang tidak kosong, ditulis A = {A_i| A_iÌA, A_i ¹ f, iÎ I}. A disebut partisi dari A jika dan hanya jika : A₁

A₂ … ….

A₃

….

Ø Teorema : teorema fundamental tentang relasi ekuivalensi

Setiap partisi pasti dapat membentuk suatu relasi ekuivalensi dan sebaliknya, setiap relasi ekuivalensi pasti membentuk partisi yang terdiri dari kelas-kelas ekuivalensi.

Ø Tugas Kelompok :

I. membuat soal dan jawabannya (soal terbuka) minimal 3 yaitu membentuk partisi dari suatu relasi ekuivalensi dan menentukan relasi ekuivalensi dari partisi yang dibuat.

II. Membuat resume tentang fungsi

III. Pertemuan ke 10, salah satu kelompok presentasi hasil resumenya

Himpunan

HIMPUNAN
PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas. Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu
Contoh: A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 , A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

HIMPUNAN LEPAS
Definisi:
Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama
Contoh :
L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }
G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }
Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G.

HIMPUNAN TIDAK SALING LEPAS
Definisi:
Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama
Contoh :
P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }
Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P Ë Q




HIMPUNAN BAGIAN
Definisi:
A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A Ì B
Contoh:
S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }
Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C
Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B Ì A
Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C Ë A.

HIMPUNAN SAMA
Definisi:
Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya
Contoh : A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }
Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B

HIMPUNAN EKUIVALEN
Definisi:
Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama
Contoh : P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q ).




IRISAN DUA HIMPUNAN (INTERSEKSI)
Definisi:
Irisan himpunan A dan B ditulis A Ç B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B
Contoh: Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Ç Q
Jawab : P Ç Q = { d, e }

GABUNGAN DUA HIMPUNAN ( UNION)
Definisi:
Gabungan himpunan A dan B ditulis A È B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B
Contoh: Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P È Q
Jawab : P È Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }.